\chapter{开普勒定律 Kepuler's Laws}
\section{ Kepuler's Laws}
\subsection{行星运动定律 Planetary Motion Laws}
1609年，约翰尼斯·开普勒(Johannes Kepler，1571.12.27-1630.11.15，生于德国符腾堡的威尔德斯达特镇)发表了《新天文学》一书和《论火星运动》一文，公布了两个定律：

(一)所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上运动。太阳的位置不在轨道中心，而在轨道的两个焦点之一。

这是行星运动第一定律(也叫轨道定律)。

(二)在同样的时间里，行星向径在其轨道平面上所扫过的面积相等。

这是行星运动的第二定律(也叫面积定律)。

十年后，1619年，开普勒在《宇宙和谐论》(Harmonices Mundi，1619)发表了他的行星运动第三定律：行星距离太阳越远，它的运转周期越长；运转周期的平方与到太阳之间距离的立方成正比。

\subsection{行星运动定律的数学描述}
现在，我们使用数学公式描述开普勒的行星运动定律。
\begin{figure}
	\includegraphics[scale=1]{kepler2}
	\caption{开普勒定律示意图 \label{kepler2}}	
\end{figure}

设A是矢径扫过的面积,由开普勒第二定律,知道单位时间内,矢径所扫过的面积相等,即
$\frac{dA}{dt}= constant$,现在来求 dA/dt 的表达式。

如图\ref{kepler2} 所示，设O点是太阳位置，$P_1,P_2$分别是行星沿着轨道运动时的两个相邻位置,对太阳张开的角度为$\Delta\theta$,从$P_1$到$P_2$的时间是$\Delta t$,在这一段时间内扫过的面积$\Delta A$为$OP_1P_2$。当$\Delta t\to 0,P_2\to P_1,\Delta A$就近似的等于$\Delta OP_1P_2$的面积,即 $\frac{1}{2}r^2\Delta \theta$,所以

\begin{equation}
	\label{kepler2ndlaw1}
	\frac{dA}{dt}=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta A}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\frac{1}{2}r^2\frac{\Delta \theta}{\Delta t}=\frac{1}{2}r^2\frac{d\theta}{dt}
\end{equation}

即

\begin{equation}
	\label{kepler2ndlaw2}
	2\frac{dA}{dt}=r^2\frac{d\theta}{dt}
\end{equation}
或

\begin{equation}
	\label{kepler2ndlaw3}
	2\frac{dA}{dt}=C
\end{equation}
或

\begin{equation}
	\label{kepler2ndlaw4}
	r^2\frac{d\theta}{dt}=C
\end{equation}

式\ref{kepler2ndlaw3} 或式\ref{kepler2ndlaw4}就是开普勒第二定律的数学表达式。

开普勒第一定律的数学表达式就是式\ref{Elliptic_equation_polar}，它是椭圆的标准方程。
\subsection{开普勒第三定律}
万有引力定律是用开普勒第三定律导出的，因此不能再用万有引力定律来推导开普勒第三定律，循环论证是不严谨的。开普勒第三定律是开普勒根据第谷的观测数据计算出来的，没有见过推导，推导过程只能是与万有引力定律的联系，不能叫推导。
\subsubsection{观测数据}
图\ref{kepler3rdlaworbitdata}是开普勒经过艰苦计算所发现第三定律时的原始数据表
\begin{figure}
	\includegraphics[scale=0.6]{kepler3rdlaworbitdata}
	\caption{开普勒第三定律数据表\label{kepler3rdlaworbitdata}}
\end{figure}
开普勒至少花了6年整理数据，最后发现，图\ref{kepler3rdlaworbitdata}下方的坐标中各点大致连成一条直线，因此他认为行星的运行周期$T$和$R^\frac{3}{2}$ 成正比（其中R为平均轨道半径），并计算出该直线的斜率为$\frac{2\pi}{\sqrt{GM}}$，即
\begin{align}
	T=\frac{2\pi R\frac{3}{2}}{\sqrt{GM}}\label{kepler3rdlaw1}
\end{align}
\subsubsection{推导过程}
下面求开普勒第三定律的数学表达式。

根据开普勒第一定律，行星绕太阳运行的轨道是椭圆。设行星周期为T，椭圆半长轴为a、半短轴为b、太阳到椭圆中心的距离为c。

利用微元，矢径R在很小的$\Delta$t时间内，扫过面积为$\Delta$S，矢径R与椭圆该点的切线方向夹角为$\alpha$，扫过椭圆的弧长为$\Delta$R。在$\Delta t\rightarrow0$时，扫过面积可以看作为三角形，
\begin{align}
	\Delta S&=\frac{1}{2}R\Delta R\sin\alpha\label{kepler3rdlaw2}\\
	\frac{\Delta S}{\Delta t}&=\frac{\frac{1}{2}R\Delta R\sin\alpha}{\Delta t}=\frac{1}{2}Rv\sin\alpha\label{kepler3rdlaw3}\\
	T&=\frac{\pi a b}{\frac{1}{2}Rv\sin\alpha}\label{kepler3rdlaw4}
\end{align}
选近日点A和远日点B来研究，由开普勒第二定律\ref{kepler2ndlaw3},$\Delta$S相等可得 
\begin{align}
	\frac{1}{2}R_Av_A&=\frac{1}{2}R_Bv_B\label{kepler3rdlaw5}\\
	R_Av_A&=R_Bv_B\label{kepler3rdlaw51}
\end{align}
从近日点运动到远日点的过程中，根据机械能守恒定律得：
\begin{align}
	\frac{1}{2}mv_A^2-\frac{GMm}{R_A}&=\frac{1}{2}mv_B^2-\frac{GMm}{R_B}\label{kepler3rdlaw6}\\
	\frac{1}{2}v_A^2-\frac{GM}{R_A}&=\frac{1}{2}v_B^2-\frac{GM}{R_B}\label{kepler3rdlaw61}
\end{align}

由几何关系得
\begin{align}
	R_A&=a-c\label{kepler3rdlaw8}\\
	R_B&=a+c\label{kepler3rdlaw9}\\
	a^2&=b^2+c^2\label{kepler3rdlaw10}
\end{align}
联立式\ref{kepler3rdlaw51},\ref{kepler3rdlaw61}，解得

\begin{align}
	\frac{1}{2}v_A^2-\frac{GM}{R_A}&=\frac{1}{2}(\frac{R_Av_A}{R_B})^2-\frac{GM}{R_B}\label{kepler3rdlaw62}\\
	\frac{1}{2}v_A^2(R_B^2-R_A^2)&=GM(\frac{R_B^2}{R_A}-R_B)\label{kepler3rdlaw63}\\
	v_A^2&=\frac{2GMR_B}{(R_B+R_A)R_A}\label{kepler3rdlaw64}\\
	v_A&=\sqrt{\frac{2GMR_B}{aR_A}}\label{kepler3rdlaw65}\\
\end{align}

式\ref{kepler3rdlaw1}就是开普勒第三定律的数学描述，它表明，轨道周期的平方与半长轴的立方之比是一个常数k，称k为开普勒常数，这是一个只与被绕中心天体质量M有关的常量。这样我们就从角动量守恒(开普勒第一定律)和能量守恒定律导出了开普勒第三定律。

开普勒在1609年发表行星运动第一、第二定律以后，又过了十年，于1619年才发表行星运动第三定律，其中整理数据寻找规律至少花了6年，艰难程度可见一斑。又过了将近50年，牛顿才发明了流数术等微积分工具，推导出万有引力定律。

把式\ref{Elliptic_equation_polar}代入式\ref{kepler2ndlaw2}，两边积分得到
\begin{equation}
	\label{kepler3rdlaw27}
	\int 2dA=\int \frac{p^2d\theta}{(1+ecos\theta)^2}
\end{equation}

现在我们根据开普勒第二定律的结果，知道这个椭圆积分有一个简洁的解析结果是

\begin{equation}
	\label{kepler3rdlaw28}
	\int_0^{2\pi} \frac{p^2d\theta}{(1+ecos\theta)^2}=2\pi ab,
\end{equation}

其中$c=\sqrt{a^2-b^2},e=\frac{c}{a},p=a(1-e^2),a>b>0$，并且满足椭圆方程 \ref{Elliptic_equation_polar}。
\subsubsection{发展简史}
1576年，在丹麦国王腓特烈二世的资助下，第谷在汶岛建立了一个当时最先进的天文台，装备了他亲自设计的大量古代天文仪器。利用这些仪器，第谷和他的助手们在汶岛进行了长达二十一年的天文观测。他重新精确地测定了许多恒星的位置，测出二十年内每个行星（太阳系中）的位置，积累了丰富的关于行星运动的观测资料。

1600年，德国天文学家开普勒应丹麦天文学家第谷之邀，前往布拉格做第谷的助手。次年，第谷去世，将自己一生积累的观测资料留给了开普勒。

开普勒分析第谷测量行星位置的多年记录（特别是火星的椭圆形轨道），在1619年发表他的第三行星定律。

到了1665年左右，英国人牛顿以“万有引力”概念解开行星轨道之谜，并且将开普勒第三行星定律改进成 $a^3(\frac{2\pi}{p})^2=G(M+m)$ ，G是万有引力常数，M是太阳质量，m是行星质量，p是公转周期。

19世纪初德国数学家高斯将牛顿的式子改写为$a^3(\frac{2\pi}{p})^2=k^2(M+m)$ ，其中k为高斯引力常数，  成为了G的“代用品”。

到了19世纪后期，物理量（包括G、M、m、a和光速c）较前代测得更准确，当时的美国海军天文台台长纽康负责编算天文年历，他把高斯引力常数k值修订。1976年，I.A.U.采用纽康的k值和开普勒第三定律来确定天文单位的定义。

1798年，英国科学家亨利·卡文迪许通过扭秤实验，测量了引力常量G的大小是$G=6.754\times10^{-11}N·m^2/kg^2$，卡文迪许对G的测量进一步完善了开普勒第三定律。G在2006年的国际推荐值为$G=6.67428\times10^{-11}N·m^2/kg^2$。 
\subsubsection{定律影响}
开普勒定律给予亚里士多德派与托勒密派在天文学与物理学上极大的挑战。他的论点，打破了亚里士多德留下的天文学与物理学中的陈旧观念。

开普勒定律的一个重要功绩，就是后来在1684年牛顿根据开普勒定律及自己研究的运动定律，破译了天文运动的机密——万有引力定律。

开普勒的三大定律是天文学的一次革命，它摧毁了托勒密繁杂的本轮宇宙体系，完善和简化了哥白尼的日心宇宙体系。它对后人寻找出太阳系结构的奥秘具有重大的启发意义，为经典力学的建立、牛顿的万有引力定律的发现，都作出重要的提示。
